Среда, 20.11.2019, 14:19
Приветствую Вас, Гость
Главная » Статьи » Лекции » Лекции по электротехнике, ТОЭ

Матричные методы контурных токов и узловых потенциалов

Матричные методы анализа линейных цепей


Целью матричных методов расчёта является формализация процесса анализа цепи, что позволяет избежать ошибок. Гибкость и универсальность матричного метода анализа обеспечивается разделением цепи на топологическую и параметрическую части.

Для построения топологии используется матричный аппарат графов. При отображении электрической цепи в виде графа, ветви цепи изображаются в виде отрезков независимо от того, имеет ли ветвь только пассивные элементы или включает источники ЭДС. Если ветвь содержит идеальный источник тока, то она не отображается на графе. В каждой ветви цепи задается определенное направление, как правило, совпадающее с направлением протекания тока. Полученный граф называется направленным графом.

Электрическим узлом называют место соединения трех и более ветвей. Ветвью электрической цепи называют участок из последовательно соединенных элементов электрической цепи. Если отрезок не содержит элементы, то он не является ветвью.

В теории графов узлам соответствуют вершины графов, а ветвям-ветви графа. Если из графа удалить минимальное число ветвей так, чтобы сохранить все узлы, то полученная геометрическая фигура будет называться деревом графа. Число ветвей любого дерева на единицу меньше числа узлов. Удаленные для образования дерева ветви называют главными ветвями. Т. к. присоединение к дереву любой главной ветви образует новый контур, то число независимых контуров равно числу главных ветвей.

Матричный метод узловых потенциалов

Для задания топологии цепи составляется таблица, число столбцов которой равно числу ветвей, а число строк равно числу узлов. Таблица записывается по следующему правилу: если какая-либо ветвь направлена от заданного узла, то в соответствующей клетке  таблицы записывается "-1", если ветвь направлена к узлу, то "+1", если ветвь не связана с узлом, то "0".

Полученная таблица соответствует полной топологической матрице, которая обозначается П0. Её свойством является избыточность, вызванная тем, что любая ветвь выходит из какого-либо узла и заканчивается на другом узле, т. е. сумма чисел по столбцу всегда равна нулю. Поэтому производится вычеркивание из данной матрицы любой строки. Получаемую матрицу обозначают П и называют узловой матрицей. Узел, соответствующий отброшенной строке называется базисным. Перестановка столбцов или строк соответствует лишь изменению нумерации ветвей или узлов, но не меняет схему.

Матричный метод контурных токов

Для применения метода контурных токов составляется контурно-ветвевая матрица, которая соответствует таблице, число столбцов которой равно числу ветвей, а число строк числу контуров.

Для заполнения контурно-ветвевой матрицы в графе цепи выделяют независимые контура. Независимым считается контур внутренняя область которого не пересекается ни одной ветвью.

Для выделения контуров рекомендуется составить дерево графа и формировать контура путем последовательного добавления главных ветвей графа. Далее, в этих контурах задается направление обхода, например, по часовой стрелке и происходит заполнение таблицы. Если направление обхода контура совпадает с направлением ветви, то в таблицу заносится "+1", если не совпадает, то "-1", если ветвь не входит в контур, то записывается "0". Полученная таблица соответствует топологической матрице Г.

Для проверки правильности составления топологической матрицы в составленной матрице подставляются столбцы соответствующие главным ветвям графа. Если определитель получившейся матрицы не равен нулю, то построение выполнено верно. Полученная контурная матрица позволяет связать ветвевые и контурные токи

Задание ветвевых параметров

Матрица ветвевых сопротивлений является диагональной матрицей, по главной диагонали которой откладываются сопротивления ветвей

Матрица ветвевых проводимостей является диагональной матрицей и является обратной к матрице ветвевых сопротивлений

Матрица ветвевых ЭДС представляет собой вектор-столбец, количество элементов в котором соответствует количеству ветвей, содержащих величины ЭДС с учетом знака действия ЭДС. Если направление ветви совпадает с направлением ЭДС, то берется положительное значение, если нет, то отрицательное

Матрица источников тока представляет собой вектор-столбец. Ток берется со знаком "+", если при обходе контура состоящего из источника тока и параллельной ему ветви положительное направление ветви и источника тока совпадает с направлением обхода контура

Закон Ома в матричной форме. Полученные матрицы позволяют сформулировать матричный закон Ома: сумма ветвевых токов и токов источников равна сумме ветвевых проводимостей умноженных на сумму ветвевых напряжений и источников ЭДС


Если источников тока в цепи нет, то матрица заполняется нулями, т.е. её можно исключить.
Матричный метод узловых потенциалов сведется к решению следующего уравнения

где Y- узловые проводимости.

Матричный метод контурных токов

Рассмотрим пример для схемы представленной на рисунке ниже

Составим граф для даннной цепи

Зададим ветвевые параметры. Матрица ветвевых сопротивлений

Матрица ветвевых ЭДС

Матрица источников тока

Зададим топологические матрицы. Топологическая матрица Г (для МКТ)

  1 2 3 4 5
I -1 0 0 1 1
II 0 0 -1 0 -1
III 0 -1 0 -1 0

Топологическая матрица П0 (для МУП)

  1 2 3 4 5
A -1 0 1 0 -1
B 1 -1 0 1 0
C 0 1 -1 -1 1

Для получения топологической матрицы П из матрицы П0 вычеркнем последнюю строку.

Реализуем расчёты в системе Matlab

clear
clc

R1=4;
R2=10;
R3=8;
R4=2;
R5=6;
E1=40;
E2=10;
E3=20;
E4=30;
J=2;

ZB = diag( [ R1 R2 R3 R4 R5 ] );
EB = [ E1; E2; E3; E4; 0 ];
j = [ J; 0; 0; 0; 0 ];

%МКТ

G = [ -1 0 0 1 1; 0 0 -1 0 -1; 0 -1 0 -1 0 ];
Zk = G*ZB*G';
Ik = inv(Zk)*G*(EB-ZB*j)
IB = G'*Ik+j

%МУП

P = [ -1 0 1 0 -1; 1 -1 0 1 0 ];
YB = inv(ZB);
Yy = P*YB*P';
PhiY = inv(Yy)*P*(j-YB*EB);
UB = P'*PhiY
IB = YB*(UB+EB)

Получены следующие результаты расчётов. Ветвевые напряжения:

UB =

  -24.4188
   26.4921
   -2.0733
  -26.4921
    2.0733

Ветвевые токи:

IB =

    3.8953
    3.6492
    2.2408
    1.7539
    0.3455

 

Категория: Лекции по электротехнике, ТОЭ | Добавил: Petr (25.01.2017)
Просмотров: 490 | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
avatar